题文
已知函数
，
.
（1）若
，是否存在
、
，使
为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
（2）若
，
，求
在
上的单调区间；
（3）已知
，
对
，，有
成立，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）存在，如
，
；（2）函数
的增区间为
，减区间为
；
（3）实数
的取值范围是
.
解析
（1）直接举例并利用定义进行验证即可；（2）将
，
代入函数
的解析式，去绝对值符号，将函数
的解析式利用分段函数的形式表示出来，然后利用导数求出函数
在相应区间上的单调区间；（3）先将绝对值符号去掉，得到
，并根据题中的意思将问题转化为
，然后利用导数进行求解，从而求出参数
的取值范围.
试题解析：（1）存在
使
为偶函数，证明如下：
此时：
，
，
为偶函数，
（注：也可以
（2）
，
当
时
，
，
在
上为增函数，
当
时
，
，令
则
，
当
时
，
在
上为减函数，
当
时
，
在
上为增函数，
综上所述：
的增区间为
，减区间为
；
（3）
，
，
成立。
即：
当
时，
为增函数或常数函数，
综上所述：
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，.（1）若，是否存在、，使为偶.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
