题文
已知二次函数
与
交于
两点且
，奇函数
，当
时，
与
都在
取到最小值．
（1）求
的解析式；
（2）若
与
图象恰有两个不同的交点，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
．
解析
（1）由已知
是奇函数，故
，从而得
，所以
，又当
时，
在
取到最小值，由均值不等式等号成立的条件可得
，即
．再由已知
及弦长公式，得
，解方程组便得
的值，从而得函数
和
的解析式；（2）由已知，
与
，即
有两个不等的实根，将问题转化为方程
有两个不等的实根，即一元二次方程根的分布问题，列不等式组解决问题．
试题解析：（1）因为
是奇函数，由
得
，所以
，由于
时，
有最小值，所以
，则
，当且仅当：
取到最小值，所以
，即
．
设
，
，则
．由
得：
，所以：
，解得：
，所以
6分
（2）因为
与
，即
有两个不等的实根，也即方程
有两个不等的实根．
当
时，有
，解得
；当
时，有
，无解．
综上所述，
． 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数与交于两点且，奇函数，当时，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
