题文
定义在
上的函数
，如果对任意
，恒有
（
，
）成立，则称
为
阶缩放函数.
（1）已知函数
为二阶缩放函数，且当
时，
，求
的值；
（2）已知函数
为二阶缩放函数，且当
时，
，求证：函数
在
上无零点；
（3）已知函数
为
阶缩放函数，且当
时，
的取值范围是
，求
在
（
）上的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）1；（2）详见解析；（3）
.
解析
(1)本小题首先利用函数
为二阶缩放函数，所以
，于是由
得，
，由题中条件得
；
(2)本小题首先对
时，
，得到
，方程
或
，
与
均不属于
（
），所以当
时，方程
无实数解，所以函数
在
上无零点；
(3)本小题针对
，
时，有
，依题意可得
，然后通过分析可得取值范围为
.
试题解析：（1）由
得，
2分
由题中条件得
4分
（2）当
时，
，依题意可得：
。 6分
方程
或
，
与
均不属于
（
） 8分
当
（
）时，方程
无实数解。
注意到
，所以函数
在
上无零点。 10分
（3）当
，
时，有
，依题意可得：
当
时，
的取值范围是
12分
所以当
，
时，
的取值范围是
。 14分
由于
16分
所以函数
在
（
）上的取值范围是：
。 18分
考点
据考高分专家说，试题“定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
