已知增函数是定义在上的奇函数，其中，a为正整数，且满足.⑴求函数的解析式；⑵求满足的的范围;

题文

已知增函数

是定义在（－1，1）上的奇函数，其中

，a为正整数，且满足

.
⑴求函数

的解析式；
⑵求满足

的

的范围; 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

;(2)

解析

(1)由函数

是定义在

上的奇函数,则有

,可求得

,此时

,又有

,则有

,即

,又

为正整数,所以

,从而可求出函数的解析式;(2)由(1)可知

,可知函数

在定义域内为单调递增(可用定义法证明:①在其定义域内任取两个自变量

、

,且

;②作差(或作商)比较

与

的大小;③得出结论,即若

则为单调递增函数,若

则为单调递减函数),又不等式

且

为奇函数,所以不等式可化为

,从而有

,可求出

的范围.
试题解析：(1)因为

是定义在

上的奇函数
所以

,解得

     2分
则

,由

,得

,又

为正整数
所以

,故所求函数的解析式为

     5分
(2)由(1)可知

且

在

上为单调递增函数
由不等式

,又函数

是定义在

上的奇函数
所以有

,     8分
从而有

     10分
解得

     12分

考点

据考高分专家说，试题“已知增函数是定义在（－1，1）上的奇函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。