题文
已知函数
满足：对任意
，都有
成立，且
时，
．
（1）求
的值，并证明：当
时，
；
（2）判断
的单调性并加以证明；
（3）若
在
上递减，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）2；（2）函数在
上是增函数；（3）
解析
（1）用赋值法可求得
的值。
，则
，那么
.用赋值法令
中的
，整理出
的关系式，用
表示出
，因为有
的范围所以可求出
的范围。（2）由（1）知
时，
，
，
时，
，所以在R上
。在R上任取两个实数并可设
，根据已知
可用配凑法令
在代入上式找出
的关系。在比较
的大小时，在本题中采用作商法与1比较大小。（3）由（２）知函数
在
上是增函数。当
时
，函数
在
上也是增函数，不合题意故舍。当
时
在
上单调递减，此时只需
的最大值小于等于k即可。
试题解析：（1）令
,则
,
即
,解得
或
若
，令
,则
,
与已知条件矛盾.
所以
设
，则
，那么
.
又
，从而
．
（２）函数
在
上是增函数．
设
，由（１）可知对任意
且
故
，即
函数
在
上是增函数。
（３）
由（２）知函数
在
上是增函数．
函数
在
上也是增函数，
若函数
在
上递减，
则
时，
，
即
时，
．
时，
考点
据考高分专家说，试题“已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
