题文
已知函数
为奇函数.
（1）求常数
的值；
（2）判断函数的单调性，并说明理由；
（3）函数
的图象由函数
的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出
的一个对称中心，若
，求
的值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）减函数，证明见解析；（3）对称中心
，
．
解析
（1）本题唯一的条件是
为奇函数，故其定义域关于原点对称，通过求函数的定义域可求得
，当然这时还要根据奇函数的定义验证
确实是奇函数；（2）要判断函数的单调性，可根据复合函数单调性的性质确定，然后再根据定义证明，而函数
为奇函数，故只要判断函数在区间
上的单调性即可，变形
为
可得
在
是递减，当然它在
上也是递减的，然后用单调性定义田加以证明；（3）
为奇函数，它的对称中心为
，
的图象是由
的图象平移过去的，因此对称中心也相应平移，即
对称中心为
，函数
的图象对称中心为
，则
有性质：
，因此本题是有
，即
.
试题解析：(1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由
，得
，所以
. 2分
这时
满足
，函数为奇函数，因此
4分
（2）函数为单调递减函数.
法一:用单调性定义证明；
法二：利用已有函数的单调性加以说明.
在
上单调递增，因此
单调递增，又
在
及
上单调递减，因此函数
在
及
上单调递减；
法三：函数定义域为
，说明函数在
上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在
上也是单调递减，因此函数
在
及
上单调递减.
10分
（本题根据具体情况对照给分）
（3）因为函数
为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数
的一个对称中心为
， 13分
因此有
，因为
，因此
16分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数为奇函数.（1）求常数的值；（2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
