题文
已知函数
.
（Ⅰ）若函数
为偶函数，求
的值；
（Ⅱ）若
，求函数
的单调递增区间；
（Ⅲ）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
，
；（3）
.
解析
（1）据偶函数定义
,得到
,平方后可根据对应系数相等得到
的值,也可将上式两边平方得
恒成立,得
的值；（2）当
时，作出函数的图像，即可得到函数的单调递增区间；（3）先将不等式
转化为
，然后利用零点分段法（三段：
（
））去掉绝对值,在每段上分别求解不等式的恒成立问题，可得出各段不等式恒成立时参数
的取值范围，注意在后一段时可考虑结合前一段的参数
的取值范围进行求解，避免不必要的分类，最后对三段求出的
的取值范围取交集可得参数
的取值范围.
试题解析：(1)解法一：任取
，则
恒成立
即
恒成立 3分
∴
恒成立，两边平方得：
∴
5分
(1)解法二(特殊值法)：因为函数
为偶函数，所以
，得
，得：
（酌情给分）
(2)若
，则
8分
作出函数的图像
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
及
10分
(3)不等式
化为
即：
(*)对任意的
恒成立
因为
，所以分如下情况讨论：
①
时，不等式(*)化为
即
对任意的
恒成立，
因为函数
在区间
上单调递增，则只需
即可，得
，又
∴
12分
②
时，不等式(*)化为
，
即
对任意的
恒成立，
由①，
，知：函数
在区间
上单调递减，则只需
即可，即
，得
或
因为
所以，由①得
14分
③
时，不等式(*)化为
即
对任意的
恒成立，
因为函数
在区间
上单调递增，则只需
即可，
即
，得
或
，由②得
综上所述得，
的取值范围是
16分.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（Ⅰ）若函数为偶函数，求的值；.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
