已知,函数.证明：函数在上单调递增；求函数的零点．

题文

已知

,函数

.
（Ｉ）证明：函数

在

上单调递增；
（Ⅱ）求函数

的零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ｉ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；

解析

（Ｉ）先在

上任取两变量

，设

，再对

作差变形化简，判断

大小确定单调性．
（Ⅱ）要求函数f（x）的零点，即求方程f（x）=0的根，对

和

分情况求解，其中当

时，令

, 即

，对此方程中参数a对根的情况进行讨论求解.
试题解析： (1)证明:在

上任取两个实数

,且

,
则





．     2分
∵

,      ∴

．
∴

, 即

.  ∴

．
∴函数

在

上单调递增．     4分[K]
(2) (ⅰ)当

时, 令

, 即

, 解得

.
∴

是函数

的一个零点．             6分
（ⅱ）当

时, 令

, 即

．(※)
①当

时, 由(※)得

,∴

是函数

的一个零点；    8分
②当

时, 方程(※)无解；
③当

时, 由(※)得

,(不合题意,舍去)     10分
综上, 当

时, 函数

的零点是

和

；
当

时, 函数

的零点是

．               12分

考点

据考高分专家说，试题“已知,函数.（Ｉ）证明：函数在上单调递增.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。