题文
已知
，其中
是常数．
（1）若
是奇函数，求
的值；
（2）求证：
的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于
轴． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
；(2)证明见解析．
解析
(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用
来解决，由于本题中有对数符号，有根式，因此根据
求出
后，最好能再求出函数的定义域，验证下它是奇函数；(2)要证明函数
的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于
轴，即方程
不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，由于
表达式不太简便，因此我们可以从简单的方面入手试试看，看
是不是单调函数，本题函数正好能根据单调性的定义证明此函数是单调函数，故本题结论得证．
试题解析：（1）解法一：设
定义域为
,则：
因为
是奇函数，所以对任意
，有
， 3分
得
. 5分
此时，
，
，为奇函数。 6分
解法二：当
时，函数
的定义域不关于原点对称，函数不是奇函数. 2分
当
时，函数
的定义域是一切实数. 3分
要使得函数是奇函数，则
对
成立。 5分
所以
6分
（2）设定义域内任意
，设
9分
当
时，总有
，
，得
； 11分
当
时，
，得
。
故总有
在定义域上单调递增 13分
的图像上不存在两点，使得所连的直线与
轴平行 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知，其中是常数．（1）若是奇函数，求的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
