题文
已知函数
（其中
且
），
是
的反函数.
（1）已知关于
的方程
在区间
上有实数解，求实数
的取值范围；
（2）当
时，讨论函数
的奇偶性和增减性；
（3）设
，其中
.记
，数列
的前
项的和为
（
），
求证：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．
解析
(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有
，从而有
，方程在
上有解，就变为求函数
在
上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)
，
，要证明不等式成立，最好是能把和
求出来，但看其通项公式
，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式
，那么我们能不能把
放缩后可求和呢？
，显然
，即
，左边易证，又由二项式定理
，在
时，
，所以
，注意到
，至此不等式的右边可以求和了，
，得证．
试题解析：（1）
转化为求函数
在
上的值域，
该函数在
上递增、在
上递减，所以
的最小值5，最大值9。所以
的取值范围为
。 4分
（2）
的定义域为
， 5分
定义域关于原点对称，又
，
，所以函数
为奇函数。 6分
下面讨论在
上函数的增减性.
任取
、
，设
，令
，则
，
，所以
因为
，
，
，所以
. 7分
又当
时，
是减函数，所以
.由定义知在
上函数是减函数. 8分
又因为函数
是奇函数，所以在
上函数也是减函数. 9分
（3）
； 10分
因为
，
，所以
，
。 11分
设
，
时，则
， 12分
且
， 13分
由二项式定理
， 14分
所以
，
从而
。 18分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（其中且），是的反函数.（1）已.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
