已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然数的底数，a∈R.(1)当a0；(2)若f(x)在[－1，1]上是单调函

题文

已知函数f(x)＝(ax²＋x)e^x，其中e是自然数的底数，a∈R.
(1)当a<0时，解不等式f(x)>0；
(2)若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围；
(3)当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）

（3）{－3，1}

解析

(1)因为e^x>0，所以不等式f(x)>0即为ax²＋x>0.
又a<0，所以不等式可化为x

<0，所以不等式f(x)>0的解集为

.
(2)f′(x)＝(2ax＋1)e^x＋(ax²＋x)e^x＝[ax²＋(2a＋1)x＋1]e^x，
①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)e^x，f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；
②当a≠0时，令g(x)＝ax²＋(2a＋1)x＋1，因为Δ＝(2a＋1)²－4a＝4a²＋1>0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x₁、x₂，不妨设x₁>x₂，因此f(x)有极大值又有极小值．若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，故f(x)在[－1，1]上不单调．若a<0，可知x₁>0>x₂，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，因为g(0)＝1>0，必须满足

即

所以－

≤a≤0.综上可知，a的取值范围是

.
(3)当a＝0时，方程即为xe^x＝x＋2，由于e^x>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于e^x－

－1＝0.
令h(x)＝e^x－

－1，因为h′(x)＝e^x＋

>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e²－2>0，h(－3)＝e^－3－

<0，h(－2)＝e^－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数k的所有值为{－3，1}

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。