题文
定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为函数
的一个上界．已知函数
，
．
（1）若函数
为奇函数，求实数
的值；
（2）在（1）的条件下，求函数
在区间
上的所有上界构成的集合；
（3）若函数
在
上是以3为上界的有界函数，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
;（2）
；（3）
.
解析
(1)因为
为奇函数，所以利用
,求出
的值；(2) 在（1）的条件下，证明
的单调性，
在
恒成立，即
,根据单调性，可以求出其最大值；(3)若函数
在
上是以3为上界的有界函数，则
,将函数代入，反解
,
,利用函数的单调性求出他们的最大，和最小值，就是
的范围.
试题解析：解：（1）因为函数
为奇函数，
所以
，即
，
即
，得
，而当
时不合题意，故
． 4分
（2）由（1）得：
，
下面证明函数
在区间
上单调递增，
证明略． 6分
所以函数
在区间
上单调递增，
所以函数
在区间
上的值域为
，
所以
，故函数
在区间
上的所有上界构成集合为
． 8分
（3）由题意知，
在
上恒成立．
，
．
在
上恒成立．
10分
设
，
，
，由
得
,
设
，
，
,
所以
在
上递减，
在
上递增， 12分
在
上的最大值为
，
在
上的最小值为
．
所以实数
的取值范围为
． 14分
考点
据考高分专家说，试题“定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
