题文
已知函数
的定义域为
，且
,
，
当
，
且
，时
恒成立.
（1）判断
在
上的单调性；
（2）解不等式
；
（3）若
对于所有
，
恒成立，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）
；（3）
解析
（1）将
赋予
，即将
转化为
，根据
可知
，即
，根据单调性的定义可得函数
在
上的单调性。（2）由（1）知
在
上是单调增函数，根据单调性可得自变量的大小关系，同时自变量应在所给的定义域内，有以上不等式组组成的不等式组可得所求不等式的解集。（3）
恒成立即
恒成立，用函数
的单调性可求其最值。将问题转化为关于
的一元二次不等式恒成立问题，因为
，又可将上式看成关于
的一次不等式，讨论单调性即可得出。
试题解析：解：（1）∵当
，
且
，时
恒成立，
∴
， ∴
， 2分
∴
时，∴
，
时，∴
4分
∴
在
上是单调增函数 5分
（2）∵
在
上是单调增函数，且
∴
， 7分
解得
8分
故所求不等式的解集
9分
（3）∵
在
上是单调增函数，
，
∴
， 10分
若
对于所有
，
恒成立，
则
，
恒成立， 11分
即
，
恒成立，
令
，
要使
在
恒成立，
则必须
，解得
，或
13分
则
的取值范围是
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数的定义域为，且,，当，且，时恒成.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
