题文
已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a>0，证明：当0
时，f
>f
；
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：
＜0. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）在
上单调递增，在
上是减函数（2）见解析（3）见解析
解析
(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞),f′(x)＝
－2ax＋(2－a)＝－
.
①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝
，且当x∈
时，f′(x)>0，当x>
时，f′(x)<0.所以f(x)在
上单调递增，在
上是减函数.
(2)解：设函数g(x)＝f
－f
，
则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝
－2a＝
.
当0
时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0.
故当0
时，f
>f
.
(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点，
故a>0，从而f(x)的最大值为f
，且f
>0.
不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，0
由(2)得f
＝f
>f(x1)＝0.
从而x2>
－x1，于是x0＝
>
.由(1)知，f′(x0)<0
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
