题文
已知函数
定义在(―1，1)上，对于任意的
，有
，且当
时，
。
(1)验证函数
是否满足这些条件；
(2)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
(3)若
，求方程
的解。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）奇函数，
，证明详见解析；（3）x=
解析
(1)只要把x、y、
代入函数解析式化简即可得：
，然后验证定义域范围符合即可；
（2）可以根据函数的奇偶性和单调性的定义，并利用赋值法，变量代换的方法得到f(－x)=－f(x)为奇函数和
、
时
为减函数；
（3）利用奇函数和
，得到
和
，代入已知方程即可解决.
试题解析：（1）
∴－1
∴成立
4分
（2）令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x则f(x)+f(－x)=0
∴f(－x)=－f(x)为奇函数
任取
、
8分
（3）∵f(x)为奇函数 ∴
由
∵f(x)为(－1，1)上单调函数
13分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
