题文
已知函数
对任意实数
恒有
且当
时，有
且
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)求
在区间
上的最大值；
(3)解关于
的不等式
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)奇函数；(2)
；
(3)
当
时，
当
时，
当
时，
当
时,
解析
(1)赋值法：先令
，再令
(2)根据
以及当
时，有
，利用函数单调性的定义判断得出
为
上的减函数；并由单调性求其最值;
(3)由（1）和（2）的结论，先将不等式
化为
；再由函数的单调性转化为 关于
的不等式
对
的不同取值，分别讨论不等式的解.
试题解析：解（1）取
则
取
对任意
恒成立 ∴
为奇函数.
（2）任取
， 则
又
为奇函数
∴
在（－∞，+∞）上是减函数.
对任意
，恒有
而
∴
在[－3，3]上的最大值为6
（3）∵
为奇函数，∴整理原式得
进一步可得
而
在（－∞，+∞）上是减函数，
当
时，
当
时，
当
时，
当
时,
考点
据考高分专家说，试题“已知函数对任意实数恒有且当时，有且.(1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
