题文
已知函数
（1）求函数
的单调区间．
（2）若方程
有4个不同的实根，求
的范围？
（3）是否存在正数
，使得关于
的方程
有两个不相等的实根？如果存在，求b
满足的条件，如果不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）增区间为
，减区间为
；（2）
；（3）不存在，理由见详解．
解析
（1）首先求导函数
，然后通过判断
的符号可求得单调区间；（2）构造函数
，然后利用导数研究函数的取值变化，确定图象的位置，由图象可直观得到函
的取值范围；（3）
试题解析：（1）根据
定义域后，求导得到
，
根据导数和0的关系得到在
是函数
的增区间；在
是函数
减区间．
（2）（2）令
，求导得
，
里面有一个零点
和两个断点
，所以初步可以得到函数在区间
单调增；在区间
单调减．
当
从负半轴方向趋近于－1时，
当
从正半轴方向趋近于－1时，
而且
时，
，
而且可以很容易得到
，函数为偶函数，而且
，
另半边的图像就容易模拟得到了，所以
有4个不同的实根，结合图像得到
．
（本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明；而且必须说明在断点处的趋势，否则扣2到3分）
（3）结论：这样的正数
不存在．
假设存在满足条件的
，使得方程
存在两个不相等的实根
和
，然后代入方程，根据其结构利用第（1）问的结论判断出
在
上的取值及单调性，然后结合假设导出矛盾，作出判断．
假设存在正数
，使得方程
存在两个不相等的实根
和
，则
根据定义域知道
和
都是正数．
根据第1问知道，当
时，函数的最小值
，
所以
，
因为
，等式两边同号，所以，
所以
不妨设
由（1）（2）可得
，
所以
，
所以
．
因为很容易证明到函数
在
为恒大于0且为减函数
所以（*）方程显然不成立，因为
左边大于1，右边小于1．
所以原假设：存在正数
，使得方程
存在两个不相等的实根
和
错误（本题其他证法，请酌情给分）
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（1）求函数的单调区间．（2）若.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
