题文
已知函数
（1）判断函数
的奇偶性；
（2）试用函数单调性定义说明函数
在区间
和
上的增减性；
（3）若
满足：
，试证明：
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）偶函数，（2）在上是减函数，在
上是增函数（3）详见解析.
解析
（1）判定函数奇偶性，首先判定函数定义域是否关于原点对称，然后再判断
与
的相等或相反关系.本题定义域为一切实数，关于原点对称.函数
为分段函数，需分类讨论. 当
时，
，
.当
时，
，
.故
为偶函数.（2）利用定义研究函数单调性，需注重作差后的变形，关键是提取公因式，进行因式分解，以便判断符号.（3）由于
是同区间的两个任意数，所以只需证
，从而本题实质为求函数最值.由函数奇偶性及单调性知：
，所以
成立.
试题解析：解：（1）∵当
时，
，∴
∴
2分
∵当
时，
，∴
∴
4分
∴对
都有
，故
为偶函数 5分
（2）当
时，
设
且
，则
7分
∴当
时，
即
当
时，
即
9分
∴函数
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数 11分
（3）由（2）可知，当
时：
若
，则
即
若
，则
即
∴当
时，有
12分
又由（1）可知
为偶函数，∴当
时，有
13分
∴若
，
时，则
，
14分
∴
，
即
15分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）试.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
