题文
已知二次函数
在区间
上有最大值
，最小值
.
（1）求函数
的解析式；
（2）设
.若
在
时恒成立，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
．
解析
（1）根据二次函数的最值建立方程组，即可求函数
的解析式；（2）将
在
时恒成立进行转化为求函数最值，即可求出
的取值范围．求最值时考虑利用换元当将函数转化为求二次函数在一个闭区间上的最值．
试题解析：（1）∵
，
∴函数
的图象的对称轴方程为
．
依题意得
，即
，解得
，
∴
．
（2）∵
，∴
．
∵
在
时恒成立，即
在
时恒成立，
∴
在
时恒成立，
只需
．
令
，由
得
设
，
∵
，
∴函数
的图象的对称轴方程为
．
当
时，取得最大值
.
∴
∴
的取值范围为
．
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数在区间 上有最大值，最小值......”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
