题文
已知函数
在点
处的切线方程为
.
（1）求
、
的值；
（2）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）证明：当
，且
时，
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，
；（2）
；（3）详见解析.
解析
（1）利用已知条件得到两个条件：一是切线的斜率等于函数
在
处的导数值
，二是切点在切线上也在函数
的图象上，通过切点
在切线上求出
的值，然后再通过
和
的值列有关
、
的二元一次方程组，求出
、
的值；（2）解法1是利用参数分离法将不等式
在区间
上恒成立问题转化为不等式
在区间
上恒成立，并构造函数
，从而转化为
，并利用导数求出函数
的最小值，从而求出
的取值范围；解法2是构造新函数
，将不等式
在区间
上恒成立问题转化为不等式
在区间
上恒成立问题，等价于
利用导数研究函数
的单调性，对
的取值进行分类讨论，通过在不同取值条件下确定函数
的单调性求出
，围绕
列不等式求解，从而求出
的取值范围；（3）在（2）的条件下得到
，在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到
，然后分别令
、
、
、
、
，利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.
试题解析：（1）
，
.
直线
的斜率为
，且过点
，
，即
解得
，
；
（2）解法1：由（1）得
.
当
时，
恒成立，即
，等价于
.
令
，则
.
令
，则
.
当
时，
，函数
在
上单调递增，故
.
从而，当
时，
，即函数
在
上单调递增，
故
.
因此，当
时，
恒成立，则
.
所求
的取值范围是
；
解法2：由（1）得
.
当
时，
恒成立，即
恒成立.
令
，则
.
方程
（*）的判别式
.
（ⅰ）当
，即
时，则
时，
，得
，
故函数
在
上单调递减.
由于
，
则当
时，
，即
，与题设矛盾；
（ⅱ）当
，即
时，则
时，
.
故函数
在
上单调递减，则
，符合题意；
（ⅲ）当
，即
时，方程（*）的两根为
，
，
则
时，
，
时，
.
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
从而，函数
在
上的最大值为
.
而
，
由（ⅱ）知，当
时，
，
得
，从而
.
故当
时，
，符合题意.
综上所述，
的取值范围是
.
（3）由（2）得，当
时，
，可化为
，
又
，从而，
.
把
、
、
、
、
分别代入上面不等式，并相加得，
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数在点处的切线方程为.（1）求、的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
