题文
函数
的定义域为
，若存在常数
，使得
对一切实数
均成立，则称
为“圆锥托底型”函数．
（1）判断函数
，
是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
（2）若
是“圆锥托底型” 函数，求出
的最大值．
（3）问实数
、
满足什么条件，
是“圆锥托底型” 函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）是，
不是，（2）
，（3）
解析
（1）新定义问题，必须读懂题意，严格按定义进行等价转化.本题判断函数是否为“圆锥托底型”函数，即判断是否存在常数
，使得
对一切实数
均成立，若成立必须证明，否则给出反例.本题解题关键在于常数
的确定.
，所以可确定常数
而由
可知无论常数
为什么正数，
总能取较小的数比它小，即总能举个反例，如当
时，
就不成立.（2）本题实质按新定义转化为不等式恒成立问题：存在
，使得
对于任意实数恒成立．即当
时，
，而
取得最小值2，
．（3）本题是讨论满足不等式恒成立的条件.即实数
、
满足什么条件，存在常数
，使得
对一切实数
均成立.当
时，
，
、
无限制条件；当
时，
，需
，否则若
，则当
时，
，即
不能恒成立；若
，则
.
试题解析：（1）．
，即对于一切实数
使得
成立，
“圆锥托底型” 函数． 2分
对于
，如果存在
满足
，而当
时，由
，
，得
，矛盾，
不是“圆锥托底型” 函数． 5分
（2）
是“圆锥托底型” 函数，故存在
，使得
对于任意实数恒成立．
当
时，
，此时当
时，
取得最小值2，
9分
而当
时，
也成立．
的最大值等于
． 10分
（3）①当
，
时，
，无论
取何正数，取
，则有
，
不是“圆锥托底型” 函数． 12分
②当
，
时，
，对于任意
有
，此时可取
是“圆锥托底型” 函数． 14分
③当
，
时，
，无论
取何正数，取
．有
，
不是“圆锥托底型” 函数． 16分
④当
，
时，
，无论
取何正数，取
，有
，
不是“圆锥托底型” 函数．
由上可得，仅当
时，
是“圆锥托底型” 函数． 18分
考点
据考高分专家说，试题“函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
