题文
已知函数
．
（1）当
时，判断
在
的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
（3）讨论
零点的个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)单调递减函数；(2)
；(3)当
或
时，
有1个零点.当
或
或
时，
有2个零点；当
或
时，
有3个零点.
解析
(1)先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性的判定，再用定义证明；(2)将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为
，求出
的最大值，则
的范围就是
大于
的最大值；(3)将函数零点个数转化为方程
解的个数，再转化为函数
与
交点个数，运用数形结合思想求解.
试题解析：（1）当
，且
时，
是单调递减的
证明：设
，则
又
，所以
，
所以
所以
，即
故当
时，
在
上单调递减
（2）由
得
变形为
，即
而
当
即
时
所以
（3）由
可得
，变为
令
作
的图像及直线
由图像可得：
当
或
时，
有1个零点
当
或
或
时，
有2个零点
当
或
时，
有3个零点．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数．（1）当时，判断在的单调性，并.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
