题文
定义：若
在
上为增函数，则称
为“k次比增函数”，其中
. 已知
其中e为自然对数的底数.
（1）若
是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）当
时，求函数
在
上的最小值；
（3）求证：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
;(2)详见解析；(3)详见解析.3.详见解析.
解析
（Ⅰ）由于
是“1次比增函数”，得到
在
上为增函数，求导后，导数大于等于0，分离参数
，转化为恒成立，求最值的问题，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）当
时，得到函数
,
，利用导数即可得到
的单调区间，分成
,三种情况进行分类讨论即可函数在
上单调性，进而得到其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）当
时，
,即
，则
，即可证明：
.，
试题解析：（1）由题意知
上为增函数，因为
在
上
恒成立.又
，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立. 而当
时，
，所以
，
于是实数a的取值范围是
. 4分
（2）当
时，
，则
.
当
，即
时，
；
当
，即
时，
.
则
的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. 6分
因为
，所以
，
①当
，即
时，
在[
]上单调递减，
所以
.
②当
，即
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
.
③当
时，
在[
]上单调递增，所以
.
综上，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
. 9分
（3）由（2）可知，当
时，
，所以
，
可得
11分
于是
14分
考点
据考高分专家说，试题“定义：若在上为增函数，则称为“k次比增函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
