题文
已知函数
(
)，其图像在
处的切线方程为
．函数
，
．
（1）求实数
、
的值；
（2）以函数
图像上一点为圆心，2为半径作圆
，若圆
上存在两个不同的点到原点
的距离为1，求
的取值范围；
（3）求最大的正整数
，对于任意的
，存在实数
、
满足
，使得
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
；（3）
.
解析
（1）由已知可先求出切点坐标和斜率，又切点在函数
图象上，且在该处的导数等于切线的斜率，从而可列方程组为
，故可求出实数
的值；（2）根据题意可将问题转化为圆
与以原点
为圆心、1为半径的圆
有两个不同交点，即两圆相交，考虑到两圆的半径差为1、和为3，所以两圆心距离的范围应为
，再通过配方法，从而可求出实数
的取值范围；（3）考虑到函数
在区间
上为减函数，又
，所以
，若
，则对任意
，有
，即当
时，要有
，整理有
，令
，由函数的单调性、最值及零点可得
，从而问题可得证，这题有一定难度.
试题解析：（1） 当
时，
，
，故
，解得
． 3分
（2）问题即为圆
与以
为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交．设
，则
，即
，
，
，
必定有解； 6分
，
，
故
有解，须
，又
，从而
． 8分
（3）显然
在区间
上为减函数，于是
，若
，则对任意
，有
．
当
时，
，令
，
则
．令
，则
，故
在
上为增函数，又
，
，因此存在唯一正实数
，使
．故当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数，因此
在
有最小值
，又
，化简得
，
． 13分
下面证明：当
时，对
，有
．
当
时，
．令
，
则
，故
在
上为减函数，于是
．
同时，当
时，
．
当
时，
；当
时，
．
结合函数的图像可知，对任意的正数
，存在实数
、
满足
，使得
．
综上所述，正整数
的最大值为3． 16分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数()，其图像在处的切线方程为．函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
