题文
已知椭圆
的左焦点为
,左、右顶点分别为
,过点
且倾斜角为
的直线
交椭圆于
两点,椭圆
的离心率为
,
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
是椭圆上不同两点，
轴，圆
过点
，且椭圆上任意一点都不在圆
内，则称圆
为该椭圆的内切圆．问椭圆
是否存在过点
的内切圆？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）存在
解析
（1）由离心率为
，倾斜角为
的直线
交椭圆于
两点，
.通过联立直线方程与椭圆的方程，可求得
的值.即可得结论.
（2）依题意可得符合要求的圆E，即为过点
,
的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到点
距离的最小值是
，结合图形可得圆心E在线段
上，半径最小.又由于点F已知，即可求得结论.
试题解析：（1）因为离心率为
，所以
，
所以椭圆方程可化为：
，直线
的方程为
， 2分
由方程组
，得：
,即
, 4分
设
，则
， 5分
又
，
所以
，所以
，椭圆方程是
； 7分
（2）由椭圆的对称性，可以设
，点
在
轴上，设点
，
则圆
的方程为
，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点
距离的最小值是
，
设点
是椭圆
上任意一点，则
, 9分
当
时，
最小，所以
① 10分
又圆
过点
，所以
② 11分
点
在椭圆上，所以
③ 12分
由①②③解得：
或
，
又
时，
，不合，
综上：椭圆
存在符合条件的内切圆，点
的坐标是
． 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知椭圆的左焦点为,左、右顶点分别为,过.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
