题文
已知函数
.
（1）若
，讨论函数
在区间
上的单调性；
（2）若
且
，对任意的
，试比较
与
的大小． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）参考解析；（2）
解析
（1）函数
，
，所以可得函数
.通过对函数求导，以及对
讨论即可得到结论.
（2）由
且对任意的
，将
换留下
一个参数，又
恒成立.构建新函数
，通过对函数求导得到
，对
的取值分类讨论即可得结论.
试题解析：（1）
时，
，则
， 1分
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减； 2分
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增； 3分
当
时，存在
，使得
，即
， 4分
时，
，函数
在区间
上单调递增， 5分
时，
，函数
在区间
上单调递减． 6分
（2）
时，
，猜测
恒成立， 7分
证明：
等价于
，
记
，则
， 10分
当
，即
时，
，
在区间
上单调递减， 12分
所以当
时，
，即
恒成立； 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（1）若，讨论函数在区间上的单.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
