题文
已知函数
，其
中为常数，
.
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）是否存在实数
,使
的极大值为
?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）不存在.
解析
（1）由题意
，而曲线在点
处的切线的斜率为
，因此先求导数，
，得
，故切线方程为
；（2）这种存在性命题都是先假设存在，然后去求参数
的值，如能求得，则存在，如求不出，说明假设错误，结论就是不存在，利用导数公式可得
，极值点是使
的点，本题中可得
，由于已知条件是
，可分类讨论，
时，
在
上恒成立，即
在
上单调递减，无极值，当
时，
，通过讨论
在
上的符号，确定出
的单调性，也即确定出极大值点有
，极大值为
，接下来考虑的是
能否等于2，解方程
是不可能的（可以猜测计算出
），可讨论函数
的单调性，确定其值域或最值。
，因此
在
单调递增，从而
，故
无解，
不存在.
试题解析：（1）
，
，
， 1分
，
3分
则曲线在
处的切线方程为
. 5分
（2）
的根为
， 6分
，
当
时，
，
在
递减，无极值； 8分
当
时，
，
在
递减，在
递增；
为
的极大值， 10分
令
，
，
在
上递增，
，
不存在实数
，使
的极大值为
. 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，其中为常数，.（1）当时，求曲.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
