题文
已知函数
．
（1）讨论函数
的奇偶性；
（2）若函数
在
上为减函数，求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当
时，
是奇函数；当
时，
是偶函数；当
时，
是非奇非偶函数，（2）
.
解析
（1）研究函数奇偶性，首先研究定义域，
，在定义域前提下，研究
相等或相反关系. 若
，则
，
，
，若
，
，
，
,（2）利用函数单调性定义研究函数单调性. 因函数
在
上为减函数，故对任意的
，都有
，即
恒成立，
恒成立，因为
，所以
.
解：（1）
（1分）
若
为偶函数，则对任意的
，都有
，
即
，
，
对任意的
都成立。由于
不恒等于0，故有
，即
∴当
时，
是偶函数。 （4分）
若
为奇函数，则对任意的
，都有
，
即
，
对任意的
都成立。由于
不恒等于0，故有
，即
∴当
时，
是奇函数。（6分）
∴当
时，
是奇函数；当
时，
是偶函数；当
时，
是非奇非偶函数。 （7分）
（2）因函数
在
上为减函数，故对任意的
，都有
， （2分）
即
恒成立。（4分）
由
，知
恒成立，即
恒成立。
由于当
时
（6分）
∴
（7分）
考点
据考高分专家说，试题“已知函数．（1）讨论函数的奇偶性；（2）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
