题文
设函数
（1）已知
在区间
上单调递减，求
的取值范围；
（2）存在实数
，使得当
时，
恒成立，求
的最大值及此时
的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)
的最大值为3，此时
解析
(1)该函数显然是二次函数,开口向上,所以在对称轴左侧单调递减,右侧单调递增.根据题意可知区间
在对称轴的左侧,所以根据对称轴即可求出
的取值范围;
(2)由于该二次函数的对称轴未知,所以当对称轴与区间处于不同位置时,函数的单调性会发生改变,从而影响到函数的最值,所以得讨论区间与对称轴的位置关系,通过讨论位置关系确定单调性和最值,建立关于
的关系式,从而得到最终的结论.
试题解析：
（1）该函数显然是二次函数,开口向上,所以在对称轴左侧单调递减,
该函数的对称轴为
,所以区间
在对称轴
的左侧,
即
所以
（2）显然
，对称轴
讨论对称轴与区间的位置关系：
（1）当对称轴在区间左侧时,有
，即
,此时函数
在
上单调递增，
所以要使
恒成立，只需满足
由
及
得
与
矛盾,舍.
（2）当对称轴在区间右侧时,有
,此时函数
在
上单调递减，
要使
恒成立，只需满足
由
得
，
所以
与
矛盾,舍.
（3）当对称轴在区间内时,有
，此时函数
在
上递减，在
上递增，
要使
恒成立，只需满足
由前二式得
，由后二式得
又
得
即
，故
所以
。当
时，
时满足题意.
综上
的最大值为3，此时
考点
据考高分专家说，试题“设函数（1）已知在区间上单调递减，求的取.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
