题文
已知函数
（1）判定并证明函数的奇偶性；
（2）试证明
在定义域内恒成立；
（3）当
时，
恒成立，求m的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）偶函数，（2）详见解析，（3）
.
解析
（1）判定函数的奇偶性，首先判定定义域是否关于原点对称，定义域为：
关于原点对称，其次研究
与
的相等或相反的关系：
所以
为偶函数，（2）由于函数
为偶函数，所以只需证明
时
，当
时，
，
，
恒成立，当
时，所以
，由（1）可知：
，综上所述，
在定义域内恒成立（3）恒成立问题一般利用变量分离法转化为最值问题.
恒成立对
恒成立，∴
，∴
，令
可证
在[1,3]上为减函数 ∴
对
恒成立 ∴
，所以m的取值范围是
.
试题解析：解：（1）
为偶函数，证明如下：
定义域为：
关于原点对称，
对于任意
有： 2分
成立
所以
为偶函数 5分
（2）因为
定义域为：
，
当
时，
，
，
恒成立， 7分
当
时，所以
，由（1）可知：
9分
综上所述，
在定义域内恒成立 10分
（3）
恒成立对
恒成立，
∴
，∴
，令
证明
在[1,3]上为减函数（略）（不证明单调性扣2分）
∴
对
恒成立 12分
∴
所以m的取值范围是
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（1）判定并证明函数的奇偶性；（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
