对于定义域为的函数，若同时满足：①在内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在上的值域为；那么把函数叫做闭函数．(1)求闭函数符合条件②的区间；(2) 若是

题文

对于定义域为

的函数

，若同时满足：
①

在

内单调递增或单调递减；
②存在区间[

]

，使

在

上的值域为

；
那么把函数

（

）叫做闭函数．
(1) 求闭函数

符合条件②的区间

；
(2) 若

是闭函数，求实数

的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

或

或

 ，（2）

.

解析

（1）新定义的问题，首先按新定义进行等价转化. 由题意，

在[

]上递增，则



解得

或

或

,（2）若

是闭函数，则存在区间[

]，在区间[

]上，函数

的值域为[

],可证明函数

在定义域内单调递增，因此

∴

∴

为方程

的两个实数根. 即方程

有两个不相等的实根.

或

解得

，综上所述，


试题解析：[解析]（1）由题意，

在[

]上递增，则

，
解得

或

或

   
所以，所求的区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1] .     6分（解得一个区间得2分）
（2）若

是闭函数，则存在区间[

]，在区间[

]上，
函数

的值域为[

]                        6分
容易证明函数

在定义域内单调递增，
∴

                         8分
∴

为方程

的两个实数根.             10分
即方程

有两个不相等的实根.


或

               14分
解得

，综上所述，

                  16分

考点

据考高分专家说，试题“对于定义域为的函数，若同时满足：①在内单.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。