设为奇函数，为常数．求的值；证明在区间内单调递增；若对于区间[3,4]上的每一个的值，不等式>恒成立，求实数的取值范围．

题文

设

为奇函数，

为常数．
（1）求

的值；
（2）证明

在区间（1，＋∞）内单调递增；
（3）若对于区间[3,4]上的每一个

的值，不等式

>

恒成立，求实数

的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）证明见解析；（3）

.

解析

（1）利用奇函数的定义找关系求解出字母的值，注意对多解的取舍．

是奇函数，

，可解得

，检验

（舍）；
（2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，关键要在自变量大小的前提下推导出函数值的大小．任取





即

 

在

内单调递增；
（3）将恒成立问题转化为函数的最值问题，用到了分离变量的思想．对

 于上的每一个

的值，不等式

恒成立，即

恒成立．令

．只需

 
又易知

在

上是增函数，∴



时原式恒成立．
试题解析：
解：（1）

是奇函数，


．


检验

（舍），

．
（2）由（1）知


证明：任取





即

 


在

内单调递增．
（3）对

 于上的每一个

的值，不等式

恒成立，即

恒成立．
令

．只需


又易知

在

上是增函数，
∴




时原式恒成立．

考点

据考高分专家说，试题“设为奇函数，为常数．（1）求的值；（2）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。