已知函数，当时，恒有．(1)求证：是奇函数；(2)如果为正实数，，并且，试求在区间[－2,6]上的最值．

题文

已知函数

，当

时，恒有

．
(1)求证：

是奇函数；
(2)如果

为正实数，

，并且

，试求

在区间[－2,6]上的最值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)证明见解析；（2）最大值为1，最小值为－3．．

解析

解题思路：（1）利用奇函数的定义进行证明；（2）先证明

的单调性，再求在

的最值．
规律总结：（1）证明函数奇偶性的步骤：①验证函数定义域是否关于原点对称，②判断

与

的关系，③下结论；（2）先利用函数单调性的定义证明函数的单调性，再根据单调性求最值．注意点：判定或证明函数的奇偶性时，一定不要忘记验证函数的定义域是否关于原点对称．
试题解析： (1)函数定义域为

，其定义域关于原点对称，


，令

，


，令

，


，得

．


，得

，

为奇函数．
(2)设

．
则

．


,

,

，即

在

上单调递减．


为最大值，

为最小值．


，


．
∴

在区间

上的最大值为1，最小值为－3．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，当时，恒有．(1)求证：是奇函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。