题文
函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
在
上所有零点之和为 ． 题型：未知 难度：其他题型
答案
8解析
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴
，又∵函数
，∴
∴函数g（x）是偶函数，∴函数
的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数
在[-6，6]上所有的零点的和为0，∴函数
在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数
在（6，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，
，即
∴函数
在（0，2]上的值域为
，当且仅当x=2时，
=1；
又∵当x＞2时，
∴函数
在（2，4]上的值域为
，当且仅当x=４时，
=
；
函数
在（４，６]上的值域为
，当且仅当x=６时，
=
；
函数
在（６，８]上的值域为
，当且仅当x=８时，
=
；
函数
在（８，10]上的值域为
，当且仅当x=10时，
=
；
故
在（8，10]上恒成立，
注意到
的零点就是函数
的图象与曲线
交点的横坐标,
所以
在（8，10]上无零点;
同理
在（10，12]上无零点;
依此类推，函数
在（8，+∞）无零点;
综上函数
在[-6，+∞）上的所有零点之和为8;故应填入:8.
如下图:
考点
据考高分专家说，试题“函数是定义在R上的奇函数，当时，，则在上.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
