已知函数和的定义域都是[2，4].若,求的最小值；若在其定义域上有解，求的取值范围；若，求证.

题文

已知函数

和

的定义域都是[2，4].
若

,求

的最小值；
若

在其定义域上有解，求

的取值范围；
若

，求证

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

;   (2)

 ;   (3) 祥见解析．

解析

(1)将p=1代入函数

知其为分式函数，而又知其定义域为[2,4]，所以我们可用导数方法来判断函数的单调性，进而就可求出其最小值；
试题解析：(1)将p=1代入

中，所以

，所以f(x)的导数为

，令


所以 当

和

时函数

为增函数，又因为已知定义域为[2,4]，所以

恒为增函数，所以

；
（2）令k=



，要求f(x)＜2在定义域上有解，则方程

当k＜2时在[2,4]上有解，∵k＜2，p＞0
∴抛物线对称轴

，从而方程

，当k＜2时在[2,4]上有解

，又p＞0，∴0＜p＜2；
（3）

；根据第（1）问结论：


而



，
∵

，当且仅当x=3时取等号；∴

，而


∴

.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数和的定义域都是[2，4].若,求.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。