题文
已知函数
．
（1）求函数
的定义域；
（2）判断函数
的奇偶性；
（3）当
时，函数
，求函数
的值域． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数的定义域为
；（2）函数
是奇函数；（3）函数
的值域为
．
解析
（1）具有解析式的函数的定义域无特殊情况下，通常就是使解析式有意义的自变量的取值范围；通常关注的是：①开偶次方时被开方的式子为非负；②作为分母不得为零；③作为对数的真数必须为正；④作为对数的底数必须为正且不为
；（2）奇、偶性的判断，首先必须关注定义域，定义域关于原点对称是函数具备奇、偶性的必要条件，接下来用定义或等价定义来判断；（3）求函数值域的方法很多，在大题中经常通过探讨函数单调性来达到求函数值域的目的，这里即是．
试题解析：（1）由
得
，则函数
的定义域为
． 4分
（2）当
时，
，
因此，函数
是奇函数． 9分
（3）设
，当
时，
则函数
在区间
上是减函数，
故函数
在区间
上也是减函数． 12分
（证明单调性也可用定义）
则
，
13分
因此，函数
的值域为
． 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
