已知集合M是满足下列性质的函数f的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f=T f成立。函数f= x 是否属于集合

题文

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立。
（1）函数f（x）= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a>0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M ，求实数k的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx
因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，
所以f（x）=

。
（2）因为函数f（x）=a^x（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：

有解，消去y得a^x=x，
显然x=0不是方程a^x=x的解，
所以存在非零常数T，使a^T=T
于是对于f（x）=a^x有



故f（x）=a^x∈M。
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，
所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx
因为k≠0，且x∈R，
所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx 成立，则k=2mπ，m∈Z
当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，即sin（kx-k+π）=sinkx 成立，
则-k+π=2mπ，m∈Z ，即k=-2（m-1）π，m∈Z
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知集合M是满足下列性质的函.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。 集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

 1、 子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A） 

集合间基本关系：

性质1：

（1）空集是任何集合的子集，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）传递性：AB，BCAC；AB，BCAC；

（4）AB，BAA=B。

性质2：

 子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间基本关系性质：

（1）空集是任何集合的子集，即A；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）传递性：

 
（4）集合相等：

 
（5）含n个元素的集合A的子集有2ⁿ个，非空子集有2ⁿ-1个，非空真子集有2ⁿ-2个。