已知集合A={x|x2+a≤x，a∈R}．是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（

题文

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；
当a≥1时，A={x|-2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则
1+2++n=n(n+1)2=28，
所以n=7，即a∈[7，8）
（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S₂=a+a²∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；
当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而Sn=a(1-an)1-a是关于n的增函数，
所以S_n随n的增大而增大，
当Sn＜a1-a且无限接近a1-a时，对任意的n∈N₊，S_n∈A，只须a满足0＜a＜1a1-a≤1解得0＜a≤12．
当a＜-1时，A={x|a≤x≤1}．
而S₃-a=a²+a³=a²（1+a）＜0，S₃∉A故不存在实数a满足条件．
当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}．S_2n-1=-1，S_2n=0，适合．
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ（1+a）＞S_2n-1，S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹（1+a）＜S_2n，
∴S_2n-1＜S_2n+1，S_2n+2＜S_2n，且S₂=S₁+a²＞S₁．
故S₁＜S₃＜S₅＜…＜S_2n+1＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂．
故只需S2∈AS1∈A即a+a2≤1-1＜a＜0
解得-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是{a|0＜a≤12或-1≤a＜0}．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）