集合A={x||x-2|+|x|≤a}，B={x|log311+x＜1}若a=4，求A∩B；若A⊆B，求a的取值范围．

题文

集合A={x||x-2|+|x|≤a}，B={x|log311+x＜1}
（Ⅰ）若a=4，求A∩B；
（Ⅱ）若A⊆B，求a的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）若a=4，则|x-2|+|x|≤4，不等式可化为：x＞2x-2+x≤4或0≤x≤22-x+x≤4或x＜02-x-x≤4，
解得A=[-1，3]（3分）
由log311+x＜1得0＜11+x＜3，解得B=(-∞，-1)∪(-23，+∞)（5分）
A∩B=(-23，3]（6分）
（Ⅱ）由于|x-2|+|x|的最小值为2，且A⊆B，
①若a＜2，则A=∅，A⊆B显然成立；
②若a=2，则A=[0，2]，A⊆B也成立；（9分）
③若a＞2，则不等式可化为：x＞2x-2+x≤a或0≤x≤22-x+x≤a或x＜02-x-x≤a，
解得A=[1-a2，1+a2]，
∵A⊆B，∴1-a2＞-23或1+a2＜-1（舍去）
解得2＜a＜103（13分）
综上，a＜103（14分）

解析

x＞2x-2+x≤4

考点

据考高分专家说，试题“集合A={x||x-2|+|x|≤a}，.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）