已知集合P={x|2x2-7x+3≤0}，函数f=log2的定义域为Q．若P∩Q=[12，23），P∪Q=（-2，3]，求a的值

题文

已知集合P={x|2x²-7x+3≤0}，函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q．
（1）若P∩Q=[12，23），P∪Q=（-2，3]，求a的值；
（2）若P∩Q=φ，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）集合P={x|2x²-7x+3≤0}={x|12≤ x≤3}，集合Q={x|ax²-2x+2＞0}，
由P∩Q=[12，23），P∪Q=（-2，3]，得Q=(-2，23)，即-2和23是ax²-2x+2=0的两根，所以a=-32
（2）若P∩Q=φ，即x∈P时，ax²-2x+2≤0恒成立，只要a≤2x-2x2=2x-2x2的最小值．
而2x-2x2，x∈P的最小值为-4，故a 的范围为a≤-4

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知集合P={x|2x2-7x+3≤0}.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。 集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

 1、 子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A） 

集合间基本关系：

性质1：

（1）空集是任何集合的子集，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）传递性：AB，BCAC；AB，BCAC；

（4）AB，BAA=B。

性质2：

 子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间基本关系性质：

（1）空集是任何集合的子集，即A；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）传递性：

 
（4）集合相等：

 
（5）含n个元素的集合A的子集有2ⁿ个，非空子集有2ⁿ-1个，非空真子集有2ⁿ-2个。