已知由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，则1+a1-a∈A，则集合A中至少有几个元素？证明你的结论．

题文

已知由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，则1+a1-a∈A（a≠0，且a≠±1），则集合A中至少有几个元素？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a∈A，则1+a1-a∈A，
∴1+1+a1-a1-1+a1-a=-1a∈A，
进而有1+(-1a)1-(-1a)=a-1a+1∈A，
∴又有1+a-1a+11-a-1a+1=a∈A，
∵a∈R，∴a≠-1a，
假设a=1+a1-a，则a²=-1，矛盾，
∴a≠1+a1-a，
类似方法可证a、1+a1-a、-1a和a-1a+1四个数互不相等，
这就证得集合A中至少有四个元素．

解析

1+a1-a

考点

据考高分专家说，试题“已知由实数构成的集合A满足条件：若a∈A.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。 集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

 1、 子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A） 

集合间基本关系：

性质1：

（1）空集是任何集合的子集，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）传递性：AB，BCAC；AB，BCAC；

（4）AB，BAA=B。

性质2：

 子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间基本关系性质：

（1）空集是任何集合的子集，即A；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）传递性：

 
（4）集合相等：

 
（5）含n个元素的集合A的子集有2ⁿ个，非空子集有2ⁿ-1个，非空真子集有2ⁿ-2个。