已知函数f(x)=|1x-1|判断f在[1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；若集合A={y|y=f，12≤x≤2}，B=[0，1]，试

题文

已知函数f(x)=|1x-1|
（1）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（2）若集合A={y|y=f（x），12≤x≤2}，B=[0，1]，试判断A与B的关系；
（3）若存在实数a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零实数m的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）证明：f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
设x₁，x₂为[1，+∞）上任意两个实数，且1≤x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0f(x1)-f(x2)=(1-1x1)-(1-1x2)=1x2-1x1=x1-x2x1x2＜0∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
（2）当12≤x≤2时12≤1x≤2，-12≤1x-1≤1，0≤|1x-1|≤1
∴A=[0，1]=B
（3）由题意，显然m＞0，对函数的单调性进行研究知，函数在（-∞，0）上是增函数，在x=0处函数值不存在，在（0，1）函数是减函数，在（1，+∞）函数是增函数，由此结合函数的连续性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．
①当b＜0时，f（x）在[a，b]上为增函数∴1-1a=ma1-1b=mb，即a，b为方程1-1x=mx的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的负根.m＞012m＜0，此不等式组无解．
②当a≥1时，f（x）在[a，b]上为增函数∴1-1a=ma1-1b=mb，即a，b为方程1-1x=mx的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的大于1的根.m＞012m＞1⇒m＜12△=1-4m＞0⇒m＜14，解得0＜m＜14．
③当0＜a＜b＜1时，f（x）在[a，b]上为减函数，∴1a-1=mb1b-1=ma，两式作差得a=b，无意义．
综上，非零实数m的取值范围为(0，14)．

解析

1x1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=|1x-1|（1）判断.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）