设集合A={x∈R|x2-4x=0}，集合B={x∈R|x2-2x+a2-1=0}，若B=∅，求实数a的取值范围；若B≠∅，且A∩B=B，

题文

设集合A={x∈R|x²-4x=0}，集合B={x∈R|x²-2（a+1）x+a²-1=0}，
（1）若B=∅，求实数a的取值范围；
（2）若B≠∅，且A∩B=B，求实数a的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）因为B=∅，所以，关于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0无实数根，
由于△=[-2（a+1）]²-4（a²-1）=8（a+1）
所以8（a+1）＜0，即a＜-1．
所以B=∅时，实数a的取值范围是a＜-1； …（3分）
（2）因为A∩B=B，所以B⊆A={0，4}，
又B≠∅，所以
①当B={0}或{4}时，关于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0有两个相等的实数根，
即△=0，解得a=-1，经检验，适合题意； …（5分）
②当B={0，4}时，关于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0有两个不相等的实数根，且两根为0和4，
故有△＞00+4=2(a+1)0×4=a2-1，解得a=1，经检验，适合题意； …（7分）
所以，B≠∅，且A∩B=B时，实数a的取值范围是a=±1．…（8分）

解析

△＞00+4=2(a+1)0×4=a2-1

考点

据考高分专家说，试题“设集合A={x∈R|x2-4x=0}，集.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）