已知集合P={x|12≤x≤2}，y=log2的定义域为Q．若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；若方程log2(ax2-2x+2)

题文

已知集合P={x|12≤x≤2}，y=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q．
（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；
（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[12，2]内有解，求实数a的取值的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，
则说明在[12，2]内至少有一个x值，使不等式ax²-2x+2＞0，即，
在[12，2]内至少有一个x值，使a＞2x-2x2成立，令u=2x-2x2，则只需a＞umin．又u=-2(1x-12)2+12，当x∈[12，2]时，1x∈[12，2]，从而u∈[-4，12]
∴a的取值范围是a＞-4；
（2）∵方程log2(ax2-2x+2)=2在[12，2]内有解，
∴ax2-2x+2=4即ax2-2x-2=0在[12，2]内有解，分离a与x，得a=2x+2x2=2(1x+12)2-12，在[12，2]上有x的值，使上式恒成立
∵32≤2(1x+12)2-12≤12∴32≤a≤12，即a的取值范围是[32，12]．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知集合P={x|12≤x≤2}，y=l.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。 集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

 1、 子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A） 

集合间基本关系：

性质1：

（1）空集是任何集合的子集，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）传递性：AB，BCAC；AB，BCAC；

（4）AB，BAA=B。

性质2：

 子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间基本关系性质：

（1）空集是任何集合的子集，即A；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）传递性：

 
（4）集合相等：

 
（5）含n个元素的集合A的子集有2ⁿ个，非空子集有2ⁿ-1个，非空真子集有2ⁿ-2个。