设M是由满足下列条件的函数f构成的集合：“①方程f-x=0有实数根；②函数f的导数f′满足0＜f′＜1”．判断函数f(x)=

题文

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数f(x)=x2+sinx4是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x₁是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为f′(x)=12+14cosx，所以f′(x)∈[14，34]满足条件0＜f′(x)＜1，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）-x=0有实数根0．
所以函数f(x)=x2+sinx4是的集合M中的元素．（3分）
（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，
与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）-x=0只有一个实数根；（8分）
（III）不妨设x₂＜x₃，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃，
所以0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，
即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，
所以|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2（13分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。 集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

 1、 子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A） 

集合间基本关系：

性质1：

（1）空集是任何集合的子集，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）传递性：AB，BCAC；AB，BCAC；

（4）AB，BAA=B。

性质2：

 子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间基本关系性质：

（1）空集是任何集合的子集，即A；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）传递性：

 
（4）集合相等：

 
（5）含n个元素的集合A的子集有2ⁿ个，非空子集有2ⁿ-1个，非空真子集有2ⁿ-2个。