设不等式x2-1＜logax的解集为M，若⊆M，则实数a的取值范围是______．

题文

设不等式x²-1＜log_ax（a＞0，且a≠1）的解集为M，若（1，2）⊆M，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意 不等式在1＜x＜2时恒成立
若a＜1，则x²-log_ax-1 是单调递增的，∴x=2时，3-log_a2＜0 不合题意．
所以a＞1
此时考虑两个函数 f（x）=x²-1 和 g（x）=log_ax，f（x）是二次函数，log_ax是对数函数，
故只要f（2）≤g（2），那么就能保证f（x）＜g（x）在1＜x＜2时恒成立
∴3-log_a2≤0
∴a³ ≤2
∴a≤213
∴1＜a≤213
故答案为：1＜a≤213

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设不等式x2-1＜logax（a＞0，且.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。 集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

 1、 子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A） 

集合间基本关系：

性质1：

（1）空集是任何集合的子集，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）传递性：AB，BCAC；AB，BCAC；

（4）AB，BAA=B。

性质2：

 子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间基本关系性质：

（1）空集是任何集合的子集，即A；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）传递性：

 
（4）集合相等：

 
（5）含n个元素的集合A的子集有2ⁿ个，非空子集有2ⁿ-1个，非空真子集有2ⁿ-2个。