已知函数f是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)=(12)x．求f的值；求函数f的值域A；设函数g(x)=-x2

题文

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)=(12)x．
（I）求f（-1）的值；
（II）求函数f（x）的值域A；
（III）设函数g(x)=-x2+(a-1)x+a的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-1）=f（1）
又x≥0时，f(x)=(12)x
∴f(1)=12，即f（-1）=12．
（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得函数f（x）的值域A即为
x≥0时，f（x）的取值范围，
当x≥0时，0＜(12)x≤1
故函数f（x）的值域A=（0，1]．
（III）∵g(x)=-x2+(a-1)x+a
定义域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}={x|x²-（a-1）x-a≤0}
方法一：由x²-（a-1）x-a≤0得（x-a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[-1，a]，且a≥1（13分）
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
方法二：设h（x）=x²-（a-1）x-a
A⊆B当且仅当h(0)≤0h(1)≤0即-a≤01-(a-1)-a≤0
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}

解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）