定义：若平面点集A中的任一个点，总存在正实数r，使得集合B={(x，y)|(x-x0)2+(y-y0)2＜r}⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合

题文

定义：若平面点集A中的任一个点（x₀，y₀），总存在正实数r，使得集合B={(x，y)|(x-x0)2+(y-y0)2＜r}⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²=1}；
②{（x，y|x+y+2＞0）}；
③{（x，y）||x+y|≤6}；
④{(x，y)|0＜x2+(y-2)2＜1}．
其中是开集的是______．（请写出所有符合条件的序号）题型：未知难度：其他题型

答案

①：A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={(x，y)|(x-x0)2+(y-y0)2＜r}⊆A，
故①不是开集；
②A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足B={(x，y)|(x-x0)2+(y-y0)2＜r}⊆A，
故该集合是开集；
③A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，B={(x，y)|(x-x0)2+(y-y0)2＜r}⊆A，故该集合不是开集；
④{(x，y)|0＜x2+(y-2)2＜1}表示以点（0，2）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={(x，y)|(x-x0)2+(y-y0)2＜r}⊆A，故该集合是开集；
即是开集的只有：②④．
故答案为：②④．

解析

(x-x0)2+(y-y0)2

考点

据考高分专家说，试题“定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）