如图，已知：射线OA为y=kx(k＞0，x＞0)，射线OB为y=-kx(x＞0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，

题文

如图，已知：射线OA为y=kx(k＞0，x＞0)，射线OB为y=-kx(x＞0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k。
（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域。

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a＞0，b＞0)，
则|OM|=a

，|ON|=b

，
由动点P在∠AOx的内部，得0＜y＜kx，
∴

，
∴S_{四边形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=

（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=

[a(kx-y)+b(kx+y)]=

[k(a+b)x - (a-b)y]=k，
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k， ①
又由

，分别解得a=

，b=

，
代入①式消a、b，并化简得x²-y²=k²+1，
∵y＞0，
∴y=

。
（2）由0＜y＜kx，得 0＜

＜kx，








 (*)
当k=1时，不等式②为0＜2恒成立，∴(*)

x>

；
当0＜k＜1时，由不等式②得

，x＜

，
∴(*)



；
当k＞1时，由不等式②得

，且

＜0，
∴(*)

，
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，
所以还必须满足条件：y＜

x，
将它代入函数解析式，得

，
解得：

(k＞1)，或x∈k（0＜k≤1）；
综上：当k=1时，定义域为{x|x＞

}；
当0＜k＜1时，定义域为{x|

}；
当k＞1时，定义域为{x|

}。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“如图，已知：射线OA为y=k.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。