已知二次函数y=f1的图象以原点为顶点且过点，反比例函数y=f2的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f=f1+

题文

已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f₂（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）。
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a>3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知，设f₁（x）=ax²，
由f₁（1）=1，得a=1，
∴f₁（x）= x²
设f₂（x）=

（k>0），
它的图象与直线y=x的交点分别为A（

，

）B（-

，-

）
由

=8，得k=8
∴f₂（x）=


故f（x）=x²+

。
（2）f（x）=f（a），得x²+

=a²+

， 即

=-x²+a²+


在同一坐标系内作出f₂（x）=

和f₃（x）=-x²+a²+

的大致图象，
其中f₂（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f₃（x）与的图象是以（0，a²+

）为顶点，开口向下的抛物线
因此，f₂（x）与f₃（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解
又∵f₂（2）=4，f₃（2）= -4+a²+


当a>3时，f₃（2）-f₂（2）=a²+

-8>0，
∴当a>3时，在第一象限f₃（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f₂（x）图象的上方
∴f₂（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解
因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数y=f1（x）的.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得

，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。